Cartesian 坐标系与Frnet坐标系之间的转换关系

Cartesian 坐标系与Frnet坐标系之间的转换关系

一、 Cartesian 坐标系转 Frnet 坐标系

    将 Cartesian  坐标系即大地坐标系下的车辆位姿 转换为 Frnet  坐标系下的，数学建模如图(1)所示，各变量含义如表(1) 所述。

图 1    Cartesian 坐标系转 Frnet 坐标系

表 1  坐标系中各变量的含义

      在正式推导转换关系之前需要铺垫一些预备知识：

                   1. Frnet 坐标系是曲线坐标系，其坐标系的基向量不是常向量， 且点在曲线坐标系下的实际位 移与坐标的变化一般不一致；

                  2.考虑如图(2)所示的向量关系，假设经过dt 的时间位矢r 变成了,划过的弧长为ds ，位矢的切向量为

图 2 位矢与速度的关系

       由, 当dt趋于 0 时，大小趋于 1，方向趋于,故有,从而有：

      注意：由于 Frnet 坐标系是曲线坐标系，故往往不等于。

                   3.由 Frnet 公式 ，可推得：

                   5.之间存在相互转化关系，即：

      故只需计算和，利用上述两个公式就可求得和 。

      有了以上公示的铺垫后，就可以开始推导大地坐标系下的车辆如何转换到 Frnet 坐标系。转换的第一步是找到车辆在 Frnet 坐标系上的投影点在大地坐标系的位姿，为投影点切 线方向与大地坐标系 x 轴方向的夹角，则计算可得，。坐标转换的核心是向量三角形和微积分，在图（1）中有向量三角形关系：

下面依次计算 Frnet 坐标系下的位姿。

1.计算纵向位移

      纵向位移一般直接使用投影点的 ,而投影点 的计算有多种方法，本文使用分段直线近似 的方法，即从参考线的起始点开始，用直线连接到投影点，用此直线段的长度代替弧长，这样做的 好处是计算简单且鲁棒性高，则有：

2.计算横向位移

                

      对式（9）两边同时点乘,可得：

3.计算车辆的纵向速度

      对式（26）两边求导有：

      将式（1）、式（2）、式（5）、式（6）代入式（12）则有：

      对式（15）两边同时点乘,可得：

4.计算车辆的横向速度

      对式（13）两边同时点乘,可得：

5.计算车辆的纵向加速度

      对式（16）两边求导，并代入式（5）、式（17），可得:

6.计算车辆的横向加速度

      将式（17）两边对时间求导，有：

      将式（6）代入式（19）则有：

      将式（14）代入式（20），则可得：

7.计算横向坐标对纵向坐标的导数

      由式（9）和式（17），可得：

8．计算横向坐标对纵向坐标的二阶导数

      由式（10）可得

      综上得到大地坐标系到 Frnet 坐标系的转换关系：

二、Frnet 坐标系转 Cartesian 坐标系

                   Frnet坐标系到Cartesian坐标系的转换方法与Cartesian坐标系到Frnet坐标系的转换方法类似， 此处不再赘述，直接给出转换关系，设已知车辆在 Frnet 坐标系下的位姿，以及投影点在大地坐标系下的位姿，则对应 Cartesian 坐标系的位姿为，转换关系如下：